首先B树是搜索二叉树的一种拓展，B-Tree 是一种自平衡的树（所有的叶子节点拥有相同的高度）类型的数据结构。但是和其它树比如红黑树，AVL树只有两个孩子：左孩子和右孩子不同，B-Tree 的子节点多余或者等于2两个孩子。因此，有的时候M叉树，因为它可以有M个子节点（M>=2）。如图：

        B树一开始是针对机械磁盘而设计的，因为机械键盘的磁头跳转消耗的时间比较多，为了减少跳转的次数，所以设计了B-Tree。B树的目标是在时间复杂度内，完成一些动态操作。红黑二叉树的时间复杂度也是，所以B树的优势是比红黑树存储更多的节点。所以很多数据库的存储引擎是B树，或者B树的变种B+树，还有B*树，更多细节我们后面慢慢研究。

B树的定义 

看了很多定义，觉得《算法导论》给的比较权威：

一棵B树T是具有以下性质的有根树（根为T.root)：

1. 每个结点有下面属性：

• x.n表示当前存储在结点中的关键字个数。
• x.n个关键字本身，以非降序存放，即。
• x.leaf，一个boolean值，如果x是叶子节点则为true，否则为false。

2. 每个内部结点x还包含x.n+1个指向其孩子的指针  。叶结点没有孩子，所以它们的属性没有定义。

3. 关键字 对存储在各子树中的关键字范围加以分割：如果为任意一个存储在以为根的子树中的关键字，那么

4. 每个叶结点具有相同的深度，即树的高度h。

5. 每个结点所包含的关键字个数有上界和下界。用一个被称为B树的最小度数(minmum degree）的规定整数 表示这里的界。

• 除了根结点以外的每个结点必须至少有 t -1个关键字，因此，除了根结点以外的每个内部结点至少有t个孩子。如果树非空，根结点至少有一个关键字。
• 每个结点至多可包含2t - 1个关键字。因此，一个内部结点至多可有2个孩子。当一个结点恰好有2t-1个关键字时，称该结点是满的(full)。
   

首先我们先根据上面的特点建模。可能大家并不是很理解，可以做一个构建B-Tree的过程来帮大家理解：

t = 2时的B树是最简单的。每个内部结点有2个、3个或4个孩子，即一棵2-3-4树。然而在实际中，t的值越大，B树的高度就越小 。 

1.  2.   3.  4.   5.  6.7. 

通过上面最简单的2-3-4树，大家应该可以大致明白B-Tree的作用。那么我们开始建模。 

public class BTNode<K extends Comparable, V> {

    //每个结点所包含的关键字个数有上界和下界。用一个被称为B树的最小度数(minmum degree）的规定整数 表示这里的界。
    public final static int MIN_DEGREE          =   2;
    //除了根结点以外的每个结点必须至少有 t -1个关键字
    public final static int LOWER_BOUND_KEYNUM  =   MIN_DEGREE - 1;
    //每个结点至多可包含2t - 1个关键字。
    public final static int UPPER_BOUND_KEYNUM  =   (MIN_DEGREE * 2) - 1;

    //x.leaf，一个boolean值，如果x是叶子节点则为true，否则为false。
    protected boolean mIsLeaf;
    //x.n表示当前存储在结点中的关键字个数。
    protected int mCurrentKeyNum;
    //x.n个关键字本身，以非降序存放。
    protected BTKeyValue<K, V> mKeys[];
    //每个内部结点x还包含x.n+1个指向其孩子的指针。叶结点没有孩子，所以它们的属性没有定义。
    protected BTNode mChildren[];

    class BTKeyValue<K extends Comparable, V>
    {
        protected K mKey;
        protected V mValue;

        public BTKeyValue(K key, V value) {
            mKey = key;
            mValue = value;
        }
    }

    ...
    //省略其它的构造方法

}

另外在这里可以得出一个定理：如果n  1， 那么对任意一颗包括个关键字、高度为h、最小度数为t  2的B树T，有

，这个定理的证明很简单，这里不给了（感兴趣的朋友可以看看《算法导论》），根据这个定理我们也可以知道为什么B-Tree的很多动态操作可以做到复杂度了。

B-Tree的基本操作

搜索B树

在树众多动态中，搜索是最简单的，所以我们从搜索开始讲起。

在实际运用中，B-Tree面对的数据都是非常大量的数据，一般只会把root节点保存在内存中，其它的节点都是存储在磁盘之中。但是这些都不一定，这里实现B-Tree的时候，不会细究这些细节（两种情况：全部节点在内存中，部分节点在内存中）。

我会在后面一道题目中给出一个例子：

    public V search(K key) {
        BTNode<K, V> currentNode = mRoot;
        BTKeyValue<K, V> currentKey;
        int i, numberOfKeys;

        while (currentNode != null) {
            numberOfKeys = currentNode.mCurrentKeyNum;
            i = 0;
            currentKey = currentNode.mKeys[i];
            //看看key在当前的节点的哪个区间
            while ((i < numberOfKeys) && (key.compareTo(currentKey.mKey) > 0)) {
                ++i;
                if (i < numberOfKeys) {
                    currentKey = currentNode.mKeys[i];
                }
                else {
                    --i;
                    break;
                }
            }
            //到达该节点的区间，如果key相等，则返回这个值。如果已经是叶子节点，则返回null。
            if ((i < numberOfKeys) && (key.compareTo(currentKey.mKey) == 0)) {
                return currentKey.mValue;
            } else if (currentNode.mIsLeaf) {
                return null;
            }
            
            //获取对应的区间的子节点。
            if (key.compareTo(currentKey.mKey) > 0) {
                //这里也可以从磁盘中读取对应的数。
                currentNode = BTNode.getRightChildAtIndex(currentNode, i);
            } else {
                //这里也可以从磁盘中读取对应的数。
                currentNode = BTNode.getLeftChildAtIndex(currentNode, i);
            }
        }

        return null;
    }

向B-Tree中插入一个关键字

参考：

1. 算法导论》
2. https://www.codeproject.com/Articles/1158559/B-Tree-Another-Implementation-By-Java#_articleTop