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二叉搜索树也称有序搜索树，它具有如下的性质：

1.每个结点都有一个作为搜索依据的关键码(key)，每个结点的关键码都不一样

2.左子树上所有结点的关键码都小于当前根节点的关键码

3.右子树上所有结点的关键码都大于当前根节点的关键吗

4.左右子树都是二叉搜索树

二叉搜索树的操作：插入，删除，查找，遍历

一、插入---Insert

当进行插入后，不能破坏二叉搜索树的结构，因此就要查找插入的结点的正确位置。此时就需要比较其key与当前根节点的大小，如果key大于当前根节点的key，就应该往右子树走并继续查找；否则，就应该在左子树查找；当该key与树中某一节点的key相等时，插入失败。

	//非递归
	bool Insert(const K& key)	//插入一个数
	{
		//空树
		if (_root == NULL)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = _root;
		//Node* newNode = new Node(key);
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)		//在左树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)	//在右树
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else						//已经存在
			{
				return false;
			}
		}
		//不存在
		if (parent->_key > key)		//找到正确位置，判断插入左子树还是右子树
		{
			parent->_left = new Node(key);
		}
		else
		{
			parent->_right = new Node(key);
		}
	}

二、删除---Remove

同Insert一样，首先要找到key存在的位置，如果遍历完整棵树都没有找到就返回；假如已经找到，就要从三个方面考虑：

1.删除的是只有一个孩子结点的结点---假如有右孩子(right)，就用右孩子代替该位置；否则就用左孩子(left)代替

2.删除的是叶子结点---由于删除了叶子结点后，它的parent也是指向NULL，所以这种情况归为情况1的特殊情况，只不过是它的左/右孩子为NULL

3.删除的是有两个孩子结点的结点---有两种方法：找左子树的最大节点(最右结点)来替换，或者找右子树的最小结点(最左结点)替换。

bool Remove(const K& key)
	{
		//空树
		if (_root == NULL)
			return false;
		Node* cur = _root;
		Node* parent = NULL;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				//找到key所在的结点----删除
				if (cur->_left == NULL)
				{
					if (parent == NULL)
					{
						_root = _root->_right;
					}
					else
					{
						//判断cur是parent的左孩子还是右孩子
						if (parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_right;
						else if(parent->_right == cur)
							parent->_right = cur->_right;
					}
				}
				else if (cur->_right == NULL)
				{
					if (parent == NULL)
					{
						_root = _root->_left;
					}
					else
					{
						if(parent->_left == cur)
							parent->_left = cur->_left;
						else if(parent->_right == cur)
							parent->_right = cur->_left;
					}
				}
				else	//左右节点都不为空
				{
					parent = cur;
					//找cur右树的最左(小)结点，并利用替换法删除
					Node* minRight = cur->_right;
					while (minRight->_left)
					{
						parent = minRight;
						minRight = minRight->_left;
					}
					cur->_key = minRight->_key;

					if(parent->_left == minRight)
						parent->_left = minRight->_right;
					else
						parent->_right = minRight->_right;

					delete minRight;
				}
				return true;
			}
		}
		return false;
	}

三、查找---Find

查找也是要找与key值对应的结点。查找的方法与Insert查找的方法一样，找到返回true，否则返回false

bool Find(const K& key)	//查找一个数
	{
		//空树
		if (_root == NULL)
			return false;
		Node* cur = _root;
		while(cur)
		{
			if (cur->_key > key)		//查找的数在左树
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if(cur->_key < key)	//查找的数在右树
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else						//找到key
			{
				return true;
			}
		}
		if (cur == NULL)			//没找到
		{
			return false;
		}
	}

四、遍历---InOrder

根据二叉搜索树的性质，采用中序遍历的结果是递增的

void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
			return ;
		Node* cur = root;
		if (cur)
		{
			_InOrder(cur->_left);
			cout<<cur->_key<<" ";
			_InOrder(cur->_right);
		}
	}

 

下面是前三种操作的递归方法：

bool _InsertRec(Node*& root,const K& key)
	{
		//空树
		if (root == NULL)
		{
			root = new Node(key);
			return true;
		}

		Node* cur = root;
		if (cur->_key > key)
			return _InsertRec(cur->_left,key);
		else if (cur->_key < key)
			return _InsertRec(cur->_right,key);
		else
			return false;	//已经存在key的结点
	}
	bool _RemoveRec(Node*& root,const K& key)
	{
		//空树
		if (root == NULL)
			return false;

		if (root->_key > key)
			return _RemoveRec(root->_left,key);
		else if (root->_key < key)
			return _RemoveRec(root->_right,key);
		//找到要删除的结点
		else
		{
			Node* parent = root;
			Node* cur = root;
			if (root->_left == NULL)
				root = root->_right;
			else if(root->_right == NULL)
				root = root->_left;
			else
			{
				parent = root;
				root = root->_right;
				while (root->_left)
				{
					root = root->_left;
				}

				if (parent->_left == root)
					parent->_left = root;
				else
					parent->_right = root;
			}
			return true;
		}
		
	}
	bool _FindRec(Node*& root,const K& key)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return false;
		}
		if (root->_key > key)
		{
			_FindRec(root->_left,key);
		}
		else if (root->_key < key)
		{
			_FindRec(root->_right,key);
		}
		else
		{
			return true;
		}
	}